Reálná čísla

Pro práci s reálnými čísly má Java dva primitivní datové typy: float a double. Oba používají stejný způsob reprezentace: reálné číslo je uloženo jako trojice znaménko, mantisa a exponent. Označíme-li znaménko, mantisu a exponent po řadě z, m a e, pak bude tato trojice reprezentovat číslo (-1)^z * m * 2^e. Např. 0.25 je dvojkově 0.01, mantisa tedy bude 1₂ a exponent -2₁₀ = -10₂. Číslo 4, uložené jako reálné číslo, bude mít mantisu 1 a exponent 2₁₀ = 10₂. V obou případech bude znaménko kladné, tj. z = 0.

Pro další přiblížení reprezentace reálných čísel si navrhneme 7-bitový datový typ, který bude analogií javovských typů float a double. První bit vyhradíme pro znaménko, další tři bity pro exponent a poslední tři bity pro mantisu. Budou-li všechny bity exponentu jedničkové, nepůjde o reprezentaci reálného čísla, ale o některou z nečíselných hodnot, které probereme později. Každá jiná kombinace nul a jedniček bude představovat reálné číslo. Abychom mohli ukládat čísla se zápornými exponenty, použijeme pro uložení exponentu aditivní kód +3, tj. před uložením k němu přičteme 3. Např. exponent −1 se uloží jako 2₁₀ = 010₂. Budou-li všechny bity exponentu nulové (tj. exponent je -3), bude řádová tečka v mantise za prvním bitem. Např. 0 000 011 je reprezentací čísla 0.00011₂. Pokud bude alespoň jeden bit exponentu nenulový, bude mantisa v tzv. normalizovaném tvaru, tj. z intervalu <1,2). Každá normalizovaná mantisa má právě jednu jedničku před řádovou tečkou. Tato jednička nebude uložena (říkáme jí skrytá jednička, angl. hidden one). Bity mantisy budou reprezentovat pouze necelou část. Např. 0 011 100 je reprezentací čísla 1.1₂ (exponent je 0 a mantisa 1.1₂).

Podívejme se na to, jaká čísla můžeme v této reprezentaci uložit. Je zřejmé, že to nebudou všechna reálná čísla, protože exponent musí být z intervalu <−3,3>. Navíc iracionální čísla uložit nedokážeme. Zaměřme se tedy na čísla racionální. I s těmi je potíž, protože některá mají ve dvojkové soustavě nekonečný periodický rozvoj (např. 0.4₁₀ = 0.0110₂). Taková čísla většinou uložíme přibližně. Výjimkou je např. 0.1₂, protože 0.1₂ = 1₂. Přibližně uložíme také čísla, jejichž mantisa má více bitů než čtyři (pro exponent z intervalu <−2,3>), příp. tři (pro exponent −3). Nedokážeme-li uložit číslo přesně, použijeme pro jeho reprezentaci nejbližší zobrazitelné číslo (např. 0.4 uložíme jako 0 001 100, což je 0.011₂ = 0.375₁₀).

Nejmenší zobrazitelné kladné číslo má reprezentaci 0 000 001, což představuje hodnotu 0.00001₂ = (1/32)₁₀. Pokud tuto hodnotu vydělíme dvěma, očekáváme nenulový výsledek. V našem typu ovšem výsledek nelze přesně zobrazit. Nejbližší zobrazitelná čísla jsou 0.00001₂ a 0 (má reprezentaci 0 000 000). Pro reprezentaci výsledku se vybere hodnota, která má v nejnižším bitu 0, tj. 0. Ačkoliv očekáváme nenulovou hodnotu, výsledkem bude 0. Tento jev označujeme jako podtečení (angl. underflow). Největší záporné číslo má reprezentaci 1 000 001, což je -0.00001₂ = -(1/32)₁₀. Vydělíme-li tuto hodnotu dvěma, nastane podtečení. Výsledek operace je v tomto případě záporný. Proto bude výsledkem tzv. záporná nula (má reprezentaci 1 000 000). Podtečení tedy nastává, pokud je výsledek aritmetické operace nenulový a přitom je tak blízký nule, že se v daném typu nedá zobrazit.

Největší zobrazitelné číslo má reprezentaci 0 110 111, což představuje číslo 1111₂ = 15₁₀. Co dostaneme, když toto číslo vynásobíme dvěma? Výsledek nelze v našem typu zobrazit a přitom je natolik vzdálen hodnotě 15, že se tato hodnota nehodí pro jeho reprezentaci. Pro tuto situaci zavedeme speciální hodnotu nekonečno (její reprezentace bude 0 111 000). Výsledkem tedy bude hodnota nekonečno (kladné nekonečno).

Nejmenší zobrazitelné číslo je −15 (má reprezentaci 1 110 111). Pokud tuto hodnotu vynásobíme dvěma, výsledek bude mnohem menší než nejmenší zobrazitelné číslo. Pro tuto situaci zavedeme záporné nekonečno (bude mít reprezentaci 1 111 000). S nekonečny je možné provádět aritmetické operace, málokdy je však výsledkem něco jiného než nekonečno. Např. pokud vydělíme nekonečno dvěma, výsledkem bude nekonečno. Kromě kladného a záporného nekonečna zavedeme ještě jednu speciální hodnotu. Označíme ji NaN (z anglického Not-a-Number). Bude znamenat, že výsledek aritmetické operace nelze blíže určit. NaN dostaneme např. sečteme-li kladné a záporné nekonečno. Jeho reprezentace bude 0 111 100.

Vraťme se k javovským typům float a double. Typ float používá 32 bitů: 1 bit zabírá znaménko, 8 bitů exponent a 23 bitů mantisa. Pro uložení exponentu se používá aditivní kód +127. V tomto kódu je číslo x uloženo jako binární reprezentace čísla x + 127. Např. číslo -1 bude uloženo jako 01111110. Typ double používá 64 bitů: 1 bit pro znaménko, 11 bitů pro exponent a 52 bitů pro mantisu. Exponent je uložen v aditivním kódu +2047. V obou případech je formát čísla podle normy IEEE 754.

Pro reprezentaci reálných hodnot používáme obvykle typ double. Hodnoty typu double zapisujeme pomocí desetinné tečky.

  double d1 = 1.43;
  double d2 = -2.0; 

  float f1 = 2.35f;
  float f2 = -3.67F; 

  double d = 9.5;
  double d1 = Math.floor( d );  // v d1 bude 9
  double d2 = Math.ceil( d );   // v d2 bude 10
  double d3 = Math.round( d );  // v d3 bude 10 

  double d = -9.5;
  double d1 = Math.floor( d );  // v d1 bude -10
  double d2 = Math.ceil( d );   // v d2 bude -9
  double d3 = Math.round( d );  // v d3 bude -9 

  double r = 4.5;
  double obvod = 2 * Math.PI * r;
  System.out.println( obvod ); 

  double a = 1.2, b = 2.8;
  double c = Math.sqrt( a * a + b * b );
  System.out.println( c ); 

Úloha 1

Zapište bitovou reprezentaci nejmenšího kladného čísla zobrazitelného v typu float. start

Úloha 2

Vytiskněte Ludolfovo číslo a základ přirozených logaritmů. start

Úloha 3

Doplňte věty. start

Úloha 4

Doplňte křížovku. start

Otázky a odpovědi

  float f = 0.1F;
  double d = 0.4;
  System.out.println( f );
  System.out.println( d ); 

  float f = 0.10000000149F;
  System.out.println( f ); 

  double d1 = 0.01;
  double d2 = 0.09;
  System.out.println( d1 + d2 ); 

  double d = 0.38;
  System.out.printf( "%.1f", d ); 

  System.out.printf( "%.2f", Math.PI );